周期函數(shù)的常用結(jié)論證明（周期函數(shù)的常用結(jié)論）

關(guān)于周期函數(shù)的常用結(jié)論證明，周期函數(shù)的常用結(jié)論這個(gè)問題很多朋友還不知道，今天小六來為大家解答以上的問題，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

1、下面是周期函數(shù)性質(zhì)（1）若T（≠0）是f(X)的周期，則-T也是f(X)的周期。

2、（2）若T（≠0）是f(X)的周期，則nT（n為任意非零整數(shù)）也是f(X)的周期。

3、（3）若T1與T2都是f(X)的周期，則T1±T2也是f(X)的周期。

4、（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整數(shù)倍。

5、（5）T*是f(X)的最小正周期，且TT2分別是f(X)的兩個(gè)周期，則 （Q是有理數(shù)集）（6）若TT2是f(X)的兩個(gè)周期，且T1/T2是無理數(shù)，則f(X)不存在最小正周期。

6、（7）周期函數(shù)f(X)的定義域M必定是雙方無界的集合。

7、編輯本段周期函數(shù)的判定定理1若f(X)是在集M上以T*為最小正周期的周期函數(shù)則K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分別是集M和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*為最小正周期的周期函數(shù)。

8、 [1]證：∵T*是f(X)的周期，∴對(duì) 有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，∴K f(X)+C也是M上以T*為周期的周期函數(shù)。

9、假設(shè)T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，則必存在T’（ 0＜T’＜T*）是K f(X)+C的周期，則對(duì) ，有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’)- f(X)=0，∴f(X+T’)= f(X)，∴T’是f(X)的周期，與T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。

10、同理可證1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*為最小正周期的周期函數(shù)。

11、定理2若f(X)是集M上以T*為最小正周期的周期函數(shù)，則f(aX+n)是集｛X/aX+ n ｝上的以T*/ 為最小正周期的周期函數(shù)，（其中a、b為常數(shù)）。

12、證：先證 是f(ax+b)的周期∵T*是f(X)的周期，∴ ，有X±T*∈M，∴a（X ）+b=ax+b ±T*∈M，且f[a（X+ T ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的周期。

13、再證 是f（ax+b）的最小正周期假設(shè)存在T’（0＜T’＜ ）是f（ax+b）的周期，則f（a（x+T’）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT’）=f（ax+b），因當(dāng)X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各數(shù)時(shí),ax+b就取遍M所有的各數(shù)，∴aT’是f(X)的周期，但 ＜=T*這與T*是f(X)的最小正周期矛盾。

14、定理3設(shè)f(u)是定義在集M上的函數(shù)u=g（x）是集M1上的周期函數(shù)，且當(dāng)X∈M1時(shí)，g(x)∈M，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))是M1上的周期函數(shù)。

15、證：設(shè)T是u=g(x)的周期，則 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x))∴=f(g(x))是M1上的周期函數(shù)。

16、例1設(shè)=f(u)=u2是非周期函數(shù)，u= g(X)=cosx是實(shí)數(shù)集R上的周期函數(shù)，則f(g(x))=cos2x是R上的周期函數(shù)。

17、同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函數(shù)。

18、例2f(n)=Sinn是周期函數(shù)，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函數(shù)，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函數(shù)（中學(xué)數(shù)學(xué)中已證）。

19、例3f(n)=cosn是周期函數(shù)，n=g(x)= （非周期函數(shù)）而f(g(x))=cos 是非周期函數(shù)。

20、證：假設(shè)cos 是周期函數(shù)，則存在T＞0使cos （k∈Z） 與定義中T是與X無關(guān)的常數(shù)矛盾，∴cos 不是周期函數(shù)。

21、由例2、例3說明，若f(u)是周期函數(shù)，u= g(X)是非周期函數(shù)，這時(shí)f(g(x))可能是，也可能不是周期函數(shù)。

22、定理4設(shè)f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函數(shù)，TT2分別是它們的周期，若T1/T2∈Q則它們的和差與積也是M上的周期函數(shù)，T1與T2的公倍 數(shù)為它們的周期。

23、證：設(shè) （(p?q)=1）設(shè)T=T1q=T2p則有： 有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍數(shù)T為周期的周期函數(shù)。

24、同理可證：f1(X) 、f2(X)是以T為周期的周期函數(shù)。

25、定理4推論設(shè)f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限個(gè)周期函數(shù)TT2……Tn分別是它們的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意兩個(gè)之比）都是有理數(shù)，則此n個(gè)函數(shù)之和、差、積也是M上的周期函數(shù)。

26、例4f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 數(shù)2π為周期的周期函數(shù)。

27、例5討論f(X)= 的周期性解：2tg3 是以T1= 為最小正周期的周期函數(shù)。

28、5tg 是以T2 為最小正周期的周期函數(shù)。

29、tg2 是以T3= 為最小正周期的周期函數(shù)。

30、又 都是有理數(shù)∴f(X)是以TT2、T3最小公倍數(shù)（TT2、T3）= 為最小正周期的周期函數(shù)。

31、同理可證：（1）f(X)=cos ;(2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。

32、是周期函數(shù)。

33、定理5設(shè)f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，則f1(x)與f2(x)之和、差、積是周期函數(shù)的充要條件是a1/a2∈Q。

34、證先證充分性：若a1/a2∈Q，設(shè)TT2分別為f1(x)與f2(x)的最小正周期，則T1= 、T2= ，又 ∈Q由定理4可得f1(x)與f2(x)之和、差、積是周期函數(shù)。

35、再證必要性（僅就f1(x)與f2(x)的差和積加以證明）。

36、（1）設(shè)sina1x-cosa2x為周期函數(shù)，則必存在常數(shù)T＞0，使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。

37、令x= 得2cos（a1x+ ），則 （K∈Z）。

38、(2)或 C∈Z（3）又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0由(4)由sin （5）由上述（2）與（3），（4）與（5）都分別至少有一個(gè)成立。

39、由（3）、（5得 ）（6）∴無論（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 。

40、（2）設(shè)sinaxcosa2x為周期函數(shù)，則 是周期函數(shù)。

41、編輯本段非周期函數(shù)的判定[1]（1）若f(X)的定義域有界例：f(X)=cosx（ ≤10）不是周期函數(shù)。

42、（2）根據(jù)定義討論函數(shù)的周期性可知非零實(shí)數(shù)T在關(guān)系式f(X+T)= f(X)中是與X無關(guān)的，故討論時(shí)可通過解關(guān)于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出與X無關(guān)的非零常數(shù)T便可斷定函數(shù)f(X)是周期函數(shù)，若這樣的T不存在則f(X)為非周期函數(shù)。

43、例：f(X)=cos 是非周期函數(shù)。

44、（3）一般用反證法證明。

45、（若f(X)是周期函數(shù)，推出矛盾，從而得出f(X)是非周期函數(shù)）。

46、例：證f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函數(shù)。

47、證：假設(shè)f(X)=ax+b是周期函數(shù)，則存在T（≠0），使對(duì) ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0與T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函數(shù)。

48、例：證f(X)= 是非周期函數(shù)。

49、證：假設(shè)f(X)是周期函數(shù)，則必存在T（≠0）對(duì) ，有(x+T)= f(X)，當(dāng)x=0時(shí)，f(X)=0，但x+T≠0, ∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)與f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函數(shù)。

50、例：證f(X)=sinx2是非周期函數(shù)證：若f(X)= sinx2是周期函數(shù)，則存在T（＞0），使對(duì) ，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z），又取X= T有sin( T+T)2=sin（ T）2=sin2kπ=0，∴( +1)2T2=Lπ(L∈Z+)，∴與3+2 是無理數(shù)矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函數(shù)。

本文分享完畢，希望對(duì)大家有所幫助。

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