幾何學的發(fā)展（幾何學）

關于幾何學的發(fā)展，幾何學這個問題很多朋友還不知道，今天小六來為大家解答以上的問題，現在讓我們一起來看看吧！

1、非歐幾何】 非歐幾何學是一門大的數學分支，一般來講 ，他有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。

2、所謂廣義式泛指一切和歐幾里的幾何學不同的幾何學，狹義的非歐幾何只是指羅式幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅式幾何和黎曼幾何這兩種幾何。

3、 歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設，長期以來，數學家們發(fā)現第五公設和前四個公設比較起來，顯得文字敘述冗長，而且也不那么顯而易見。

4、 有些數學家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書中直到第二十九個命題中才用到，而且以后再也沒有使用。

5、也就是說，在《幾何原本》中可以不依*第五公設而推出前二十八個命題。

6、 因此，一些數學家提出，第五公設能不能不作為公設，而作為定理?能不能依*前四個公設來證明第五公設?這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭論了長達兩千多年的關于“平行線理論”的討論。

7、 由于證明第五公設的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對不對?第五公設到底能不能證明? 到了十九世紀二十年代，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中，他走了另一條路子。

8、他提出了一個和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來代替第五公設，然后與歐式幾何的前四個公設結合成一個公理系統(tǒng)，展開一系列的推理。

9、他認為如果這個系統(tǒng)為基礎的推理中出現矛盾，就等于證明了第五公設。

10、我們知道，這其實就是數學中的反證法。

11、 但是，在他極為細致深入的推理過程中，得出了一個又一個在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛盾的命題。

12、最后，羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論: 第一，第五公設不能被證明。

13、 第二，在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，并形成了新的理論。

14、這個理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學。

15、 這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。

16、這是第一個被提出的非歐幾何學。

17、 從羅巴切夫斯基創(chuàng)立的非歐幾何學中，可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結論:邏輯上互不矛盾的一組假設都有可能提供一種幾何學。

18、 幾乎在羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何學的同時，匈牙利數學家鮑耶·雅諾什也發(fā)現了第五公設不可證明和非歐幾何學的存在。

19、鮑耶在研究非歐幾何學的過程中也遭到了家庭、社會的冷漠對待。

20、他的父親--數學家鮑耶·法爾卡什認為研究第五公設是耗費精力勞而無功的蠢事，勸他放棄這種研究。

21、但鮑耶·雅諾什堅持為發(fā)展新的幾何學而辛勤工作。

22、終于在1832年，在他的父親的一本著作里，以附錄的形式發(fā)表了研究結果。

23、 那個時代被譽為“數學王子”的高斯也發(fā)現第五公設不能證明，并且研究了非歐幾何。

24、但是高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害，不敢公開發(fā)表自己的研究成果，只是在書信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。

25、羅式幾何 羅式幾何學的公理系統(tǒng)和歐式幾何學不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。

26、由于平行公理不同，經過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內容不同的新的幾何命題。

27、 我們知道，羅式幾何除了一個平行公理之外采用了歐式幾何的一切公理。

28、因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅式幾何中也同樣是正確的。

29、在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，再羅式幾何中都不成立，他們都相應地含有新的意義。

30、下面舉幾個例子加以說明: 歐式幾何 同一直線的垂線和斜線相交。

31、 垂直于同一直線的兩條直線或向平行。

32、存在相似的多邊形。

33、 過不在同一直線上的三點可以做且僅能做一個圓。

34、羅式幾何 同一直線的垂線和斜線不一定相交。

35、垂直于同一直線的兩條直線，當兩端延長的時候，離散到無窮。

36、 不存在相似的多邊形。

37、 過不在同一直線上的三點，不一定能做一個圓。

38、從上面所列舉得羅式幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習慣的直觀形象有矛盾。

39、所以羅式幾何中的一些幾何事實沒有象歐式幾何那樣容易被接受。

40、但是，數學家們經過研究，提出可以用我們習慣的歐式幾何中的事實作一個直觀“模型”來解釋羅式幾何是正確的。

41、 1868年，意大利數學家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面(例如擬球曲面)上實現。

42、這就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。

43、 人們既然承認歐幾里是沒有矛盾的，所以也就自然承認非歐幾何沒有矛盾了。

44、直到這時，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨創(chuàng)性研究也就由此得到學術界的高度評價和一致贊美，他本人則被人們贊譽為“幾何學中的哥白尼”。

45、黎曼幾何 歐氏幾何與羅氏幾何中關于結合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。

46、歐式幾何講“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”。

47、羅氏幾何講“過直線外一點至少存在兩條直線和已知直線平行”。

48、那么是否存在這樣的幾何“過直線外一點，不能做直線和已知直線平行”?黎曼幾何就回答了這個問題。

49、 黎曼幾何是德國數學家黎曼創(chuàng)立的。

50、他在1851年所作的一篇論文《論幾何學作為基礎的假設》中明確的提出另一種幾何學的存在，開創(chuàng)了幾何學的一片新的廣闊領域。

51、 黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是:在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。

52、在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講:直線可以無限演唱，但總的長度是有限的。

53、黎曼幾何的模型是一個經過適當“改進”的球面。

54、 近代黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的應用。

55、在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。

56、在廣義相對論里，愛因斯坦放棄了關于時空均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。

57、在物理學中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。

58、 此外，黎曼幾何在數學中也是一個重要的工具。

59、它不僅是微分幾何的基礎，也應用在微分方程、變分法和復變函數論等方面。

60、三種幾何的關系 歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。

61、這三中幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。

62、因此這三種幾何都是正確的。

63、 在我們這個不大不小、不遠不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的;在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際;在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些。

本文分享完畢，希望對大家有所幫助。

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