實數(shù)是什么范圍（實數(shù)）

關于實數(shù)是什么范圍，實數(shù)這個問題很多朋友還不知道，今天小六來為大家解答以上的問題，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

1、shíshù（一）數(shù)學名詞。

2、不存在虛數(shù)部分的復數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)的總稱。

3、（二）真實的數(shù)字。

4、【例】公司到底還有多少錢？請你告訴我實數(shù)！基本概念實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)。

5、其中無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)就包括無限循環(huán)小數(shù)、有限小數(shù)、整數(shù)。

6、數(shù)學上，實數(shù)直觀地定義為和數(shù)軸上的點一一對應的數(shù)。

7、本來實數(shù)僅稱作數(shù)，后來引入了虛數(shù)概念，原本的數(shù)稱作“實數(shù)”——意義是“實在的數(shù)”。

8、實數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類，或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)兩類，或正數(shù)，負數(shù)和零三類。

9、實數(shù)集合通常用字母 R 或 R^n 表示。

10、而 R^n 表示 n 維實數(shù)空間。

11、實數(shù)是不可數(shù)的。

12、實數(shù)是實分析的核心研究對象。

13、實數(shù)可以用來測量連續(xù)的量。

14、理論上，任何實數(shù)都可以用無限小數(shù)的方式表示，小數(shù)點的右邊是一個無窮的數(shù)列（可以是循環(huán)的，也可以是非循環(huán)的）。

15、在實際運用中，實數(shù)經常被近似成一個有限小數(shù)（保留小數(shù)點后 n 位，n 為正整數(shù)）。

16、在計算機領域，由于計算機只能存儲有限的小數(shù)位數(shù)，實數(shù)經常用浮點數(shù)來表示。

17、①相反數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)，我們就說其中一個是另一個的相反數(shù)） 實數(shù)a的相反數(shù)是-a ②絕對值（在數(shù)軸上一個數(shù)所對應的點與原點0的距離） 實數(shù)a的絕對值是：│a│=①a為正數(shù)時，|a|=a ②a為0時， |a|=0 ③a為負數(shù)時，|a|=-a ③倒數(shù) （兩個實數(shù)的乘積是1，則這兩個數(shù)互為倒數(shù)） 實數(shù)a的倒數(shù)是：1/a （a≠0）歷史來源埃及人早在大約公元前1000年就開始運用分數(shù)了。

18、在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數(shù)學家們意識到了無理數(shù)存在的必要性。

19、人于公元600年左右發(fā)明了負數(shù)，據(jù)說中國也曾發(fā)明負數(shù)，但稍晚于。

20、直到17世紀，實數(shù)才在歐洲被廣泛接受。

21、18世紀，微積分學在實數(shù)的基礎上發(fā)展起來。

22、直到1871年，德國數(shù)學家康托爾第一次提出了實數(shù)的嚴格定義。

23、相關定義從有理數(shù)構造實數(shù)實數(shù)可以用通過收斂于一個唯一實數(shù)的十進制或二進制展開如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定義的序列的方式而構造為有理數(shù)的補全。

24、實數(shù)可以不同方式從有理數(shù)構造出來。

25、這里給出其中一種，其他方法請詳見實數(shù)的構造。

26、公理的方法設 R 是所有實數(shù)的集合，則：集合 R 是一個域： 可以作加、減、乘、除運算，且有如交換律，結合律等常見性質。

27、 域 R 是個有序域，即存在全序關系 ≥ ，對所有實數(shù) x, y 和 z： 若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z； 若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0。

28、 集合 R 滿足戴德金完備性，即任意 R 的非空子集 S (S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 內有上界，那么 S 在 R 內有上確界。

29、 最后一條是區(qū)分實數(shù)和有理數(shù)的關鍵。

30、例如所有平方小于 2 的有理數(shù)的集合存在有理數(shù)上界，如 1.5；但是不存在有理數(shù)上確界（因為 √2 不是有理數(shù)）。

31、實數(shù)通過上述性質唯一確定。

32、更準確的說，給定任意兩個戴德金完備的有序域 R1 和 R2，存在從 R1 到 R2 的唯一的域同構，即代數(shù)學上兩者可看作是相同的。

33、相關性質基本運算實數(shù)可實現(xiàn)的基本運算有加、減、乘、除、平方等，對非負數(shù)還可以進行開方運算。

34、實數(shù)加、減、乘、除（除數(shù)不為零）、平方后結果還是實數(shù)。

35、任何實數(shù)都可以開奇次方，結果仍是實數(shù)，只有非負實數(shù)，才能開偶次方其結果還是實數(shù)。

36、完備性作為度量空間或一致空間，實數(shù)集合是個完備空間，它有以下性質：所有實數(shù)的柯西序列都有一個實數(shù)極限。

37、 有理數(shù)集合就不是完備空間。

38、例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數(shù)的柯西序列，但沒有有理數(shù)極限。

39、實際上，它有個實數(shù)極限 √2。

40、實數(shù)是有理數(shù)的完備化——這亦是構造實數(shù)集合的一種方法。

41、極限的存在是微積分的基礎。

42、實數(shù)的完備性等價于歐幾里德幾何的直線沒有“空隙”。

43、“完備的有序域”實數(shù)集合通常被描述為“完備的有序域”，這可以幾種解釋。

44、首先，有序域可以是完備格。

45、然而，很容易發(fā)現(xiàn)沒有有序域會是完備格。

46、這是由于有序域沒有最大元素（對任意元素 z，z + 1 將更大）。

47、所以，這里的“完備”不是完備格的意思。

48、 另外，有序域滿足戴德金完備性，這在上述公理中已經定義。

49、上述的唯一性也說明了這里的“完備”是指戴德金完備性的意思。

50、這個完備性的意思非常接近采用戴德金分割來構造實數(shù)的方法，即從（有理數(shù)）有序域出發(fā)，通過標準的方法建立戴德金完備性。

51、 這兩個完備性的概念都忽略了域的結構。

52、然而，有序群（域是種特殊的群）可以定義一致空間，而一致空間又有完備空間的概念。

53、上述完備性中所述的只是一個特例。

54、（這里采用一致空間中的完備性概念，而不是相關的人們熟知的度量空間的完備性，這是由于度量空間的定義依賴于實數(shù)的性質。

55、）當然，R 并不是唯一的一致完備的有序域，但它是唯一的一致完備的阿基米德域。

56、實際上，“完備的阿基米德域”比“完備的有序域”更常見。

57、可以證明，任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的（當然反之亦然）。

58、這個完備性的意思非常接近采用柯西序列來構造實數(shù)的方法，即從（有理數(shù)）阿基米德域出發(fā)，通過標準的方法建立一致完備性。

59、 “完備的阿基米德域”最早是由希爾伯特提出來的，他還想表達一些不同于上述的意思。

60、他認為，實數(shù)構成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。

61、這樣 R 是“完備的”是指，在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德域。

62、這個完備性的意思非常接近用超實數(shù)來構造實數(shù)的方法，即從某個包含所有（超實數(shù)）有序域的純類出發(fā)，從其子域中找出最大的阿基米德域。

63、 高級性質實數(shù)集是不可數(shù)的，也就是說，實數(shù)的個數(shù)嚴格多于自然數(shù)的個數(shù)（盡管兩者都是無窮大）。

64、這一點，可以通過康托爾對角線方法證明。

65、實際上，實數(shù)集的勢為 2ω（請參見連續(xù)統(tǒng)的勢），即自然數(shù)集的冪集的勢。

66、由于實數(shù)集中只有可數(shù)集個數(shù)的元素可能是代數(shù)數(shù)，絕大多數(shù)實數(shù)是超越數(shù)。

67、實數(shù)集的子集中，不存在其勢嚴格大于自然數(shù)集的勢且嚴格小于實數(shù)集的勢的集合，這就是連續(xù)統(tǒng)假設。

68、該假設不能被證明是否正確，這是因為它和集合論的公理不相關。

69、 所有非負實數(shù)的平方根屬于 R，但這對負數(shù)不成立。

70、這表明 R 上的序是由其代數(shù)結構確定的。

71、而且，所有奇數(shù)次多項式至少有一個根屬于 R。

72、這兩個性質使 R成為實封閉域的最主要的實例。

73、證明這一點就是對代數(shù)基本定理的證明的前半部分。

74、 實數(shù)集擁有一個規(guī)范的測度，即勒貝格測度。

75、 實數(shù)集的上確界公理用到了實數(shù)集的子集，這是一種二階邏輯的陳述。

76、不可能只采用一階邏輯來刻畫實數(shù)集：1. L?wenheim-Skolem定理說明，存在一個實數(shù)集的可數(shù)稠密子集，它在一階邏輯中正好滿足和實數(shù)集自身完全相同的命題；2. 超實數(shù)的集合遠遠大于 R，但也同樣滿足和 R 一樣的一階邏輯命題。

77、滿足和 R 一樣的一階邏輯命題的有序域稱為 R 的非標準模型。

78、這就是非標準分析的研究內容，在非標準模型中證明一階邏輯命題（可能比在 R 中證明要簡單一些），從而確定這些命題在 R 中也成立。

79、 拓撲性質實數(shù)集構成一個度量空間：x 和 y 間的距離定為絕對值 |x - y|。

80、作為一個全序集，它也具有序拓撲。

81、這里，從度量和序關系得到的拓撲相同。

82、實數(shù)集又是 1 維的可縮空間（所以也是連通空間）、局部緊致空間、可分空間、貝利空間。

83、但實數(shù)集不是緊致空間。

84、這些可以通過特定的性質來確定，例如，無限連續(xù)可分的序拓撲必須和實數(shù)集同胚。

85、以下是實數(shù)的拓撲性質總覽：令 a 為一實數(shù)。

86、a 的鄰域是實數(shù)集中一個包括一段含有 a 的線段的子集。

87、 R 是可分空間。

88、 Q 在 R 中處處稠密。

89、 R的開集是開區(qū)間的聯(lián)集。

90、 R的緊子集是有界閉集。

91、特別是：所有含端點的有限線段都是緊子集。

92、 每個R中的有界序列都有收斂子序列。

93、 R是連通且單連通的。

94、 R中的連通子集是線段、射線與R本身。

95、由此性質可迅速導出中間值定理。

96、 擴展與一般化實數(shù)集可以在幾種不同的方面進行擴展和一般化：最自然的擴展可能就是復數(shù)了。

97、復數(shù)集包含了所有多項式的根。

98、但是，復數(shù)集不是一個有序域。

99、 實數(shù)集擴展的有序域是超實數(shù)的集合，包含無窮小和無窮大。

100、它不是一個阿基米德域。

101、 有時候，形式元素 +∞ 和 -∞ 加入實數(shù)集，構成擴展的實數(shù)軸。

102、它是一個緊致空間，而不是一個域，但它保留了許多實數(shù)的性質。

103、 希爾伯特空間的自伴隨算子在許多方面一般化實數(shù)集：它們可以是有序的（盡管不一定全序）、完備的；它們所有的特征值都是實數(shù)；它們構成一個實結合代數(shù)。

本文分享完畢，希望對大家有所幫助。

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