線性代數(shù)是什么

線性代數(shù)（Linear Algebra）是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它的研究對(duì)象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要課題；因而，線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于抽象代數(shù)和泛函分析中；通過(guò)解析幾何，線性代數(shù)得以被具體表示。線性代數(shù)的理論已被泛化為算子理論。由于科學(xué)研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中。 由于費(fèi)馬和笛卡兒的工作，線性代數(shù)基本上出現(xiàn)于十七世紀(jì)。直到十八世紀(jì)末，線性代數(shù)的領(lǐng)域還只限于平面與空間。十九世紀(jì)上半葉才完成了到n維向量空間的過(guò)渡 矩陣論始于凱萊，在十九世紀(jì)下半葉，因若當(dāng)?shù)墓ぷ鞫_(dá)到了它的頂點(diǎn)．1888年，皮亞諾以公理的方式定義了有限維或無(wú)限維向量空間。托普利茨將線性代數(shù)的主要定理推廣到任意體上的最一般的向量空間中．線性映射的概念在大多數(shù)情況下能夠擺脫矩陣計(jì)算而引導(dǎo)到固有的推理，即是說(shuō)不依賴于基的選擇。不用交換體而用未必交換之體或環(huán)作為算子之定義域，這就引向模的概念，這一概念很顯著地推廣了向量空間的理論和重新整理了十九世紀(jì)所研究過(guò)的情況。 “代數(shù)”這一個(gè)詞在我國(guó)出現(xiàn)較晚，在清代時(shí)才傳入中國(guó)，當(dāng)時(shí)被人們譯成“阿爾熱巴拉”，直到1859年，清代著名的數(shù)學(xué)家、翻譯家李善蘭才將它翻譯成為“代數(shù)學(xué)”，一直沿用至今。 線性代數(shù)起源于對(duì)二維和三維直角坐標(biāo)系的研究。 在這里，一個(gè)向量是一個(gè)有方向的線段，由長(zhǎng)度和方向同時(shí)表示。這樣向量可以用來(lái)表示物理量，比如力，也可以和標(biāo)量做加法和乘法。這就是實(shí)數(shù)向量空間的第一個(gè)例子。 現(xiàn)代線性代數(shù)已經(jīng)擴(kuò)展到研究任意或無(wú)限維空間。一個(gè)維數(shù)為 n 的向量空間叫做 n 維空間。在二維和三維空間中大多數(shù)有用的結(jié)論可以擴(kuò)展到這些高維空間。盡管許多人不容易想象 n 維空間中的向量，這樣的向量（即 n 元組）用來(lái)表示數(shù)據(jù)非常有效。由于作為 n 元組，向量是 n 個(gè)元素的“有序”列表，大多數(shù)人可以在這種框架中有效地概括和操縱數(shù)據(jù)。比如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中可以使用 8 維向量來(lái)表示 8 個(gè)國(guó)家的國(guó)民生產(chǎn)總值（GNP）。當(dāng)所有國(guó)家的順序排定之后，比如 (中國(guó), 美國(guó), 英國(guó), 法國(guó), 德國(guó), 西班牙, 印度, 澳大利亞)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 顯示這些國(guó)家某一年各自的 GNP。這里，每個(gè)國(guó)家的 GNP 都在各自的位置上。 作為證明定理而使用的純抽象概念，向量空間（線性空間）屬于抽象代數(shù)的一部分，而且已經(jīng)非常好地融入了這個(gè)領(lǐng)域。一些顯著的例子有： 不可逆線性映射或矩陣的群，向量空間的線性映射的環(huán)。 線性代數(shù)也在數(shù)學(xué)分析中扮演重要角色，特別在 向量分析中描述高階導(dǎo)數(shù)，研究張量積和可交換映射等領(lǐng)域。 向量空間是在域上定義的，比如實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域。線性算子將線性空間的元素映射到另一個(gè)線性空間（也可以是同一個(gè)線性空間），保持向量空間上加法和標(biāo)量乘法的一致性。所有這種變換組成的集合本身也是一個(gè)向量空間。如果一個(gè)線性空間的基是確定的，所有線性變換都可以表示為一個(gè)數(shù)表，稱為矩陣。對(duì)矩陣性質(zhì)和矩陣算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被認(rèn)為是線性代數(shù)的一部分。 我們可以簡(jiǎn)單地說(shuō)數(shù)學(xué)中的線性問(wèn)題——-那些表現(xiàn)出線性的問(wèn)題——是最容易被解決的。比如微分學(xué)研究很多函數(shù)線性近似的問(wèn)題。 在實(shí)踐中與非線性問(wèn)題的差異是很重要的。 線性代數(shù)方法是指使用線性觀點(diǎn)看待問(wèn)題，并用線性代數(shù)的語(yǔ)言描述它、解決它（必要時(shí)可使用矩陣運(yùn)算）的方法。這是數(shù)學(xué)與工程學(xué)中最主要的應(yīng)用之一。

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