一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系講解教案（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系講解）

關(guān)于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系講解教案，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系講解這個(gè)問(wèn)題很多朋友還不知道，今天小六來(lái)為大家解答以上的問(wèn)題，現(xiàn)在讓我們一起來(lái)看看吧！

1、一元二次方程的解法 一、知識(shí)要點(diǎn): 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基 礎(chǔ)，應(yīng)引起同學(xué)們的重視。

2、 一元二次方程的一般形式為:ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 的整式方程。

3、 解一元二次方程的基本思想方法是通過(guò)“降次”將它化為兩個(gè)一元一次方程。

4、一元二次方程有四種解 法:直接開(kāi)平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。

5、 二、方法、例題精講: 直接開(kāi)平方法: 直接開(kāi)平方法就是用直接開(kāi)平方求解一元二次方程的方法。

6、用直接開(kāi)平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解為x=m± . 例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11 分析:(1)此方程顯然用直接開(kāi)平方法好做，(2)方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以 此方程也可用直接開(kāi)平方法解。

7、 (1)解:(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丟解) ∴x= ∴原方程的解為x1=,x2= (2)解: 9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解為x1=,x2= 2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先將常數(shù)c移到方程右邊:ax2+bx=-c 將二次項(xiàng)系數(shù)化為1:x2+x=- 方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2 方程左邊成為一個(gè)完全平方式:(x+ )2= 當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，x+ =± ∴x=(這就是求根公式) 例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0 解:將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊 3x2-4x=2 將二次項(xiàng)系數(shù)化為1:x2-x= 方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方:x2-x+( )2= +( )2 配方:(x-)2= 直接開(kāi)平方得:x-=± ∴x= ∴原方程的解為x1=,x2= . 3.公式法:把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式△=b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，把各項(xiàng) 系數(shù)a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

8、 例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5 解:將方程化為一般形式:2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x= = = ∴原方程的解為x1=,x2= . 4.因式分解法:把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓 兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè) 根。

9、這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

10、 例4.用因式分解法解下列方程: (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (選學(xué)) (4)x2-2( + )x+4=0 (選學(xué)) (1)解:(x+3)(x-6)=-8 化簡(jiǎn)整理得 x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項(xiàng)式，右邊為零) (x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

11、 (2)解:2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。

12、 注意:有些同學(xué)做這種題目時(shí)容易丟掉x=0這個(gè)解，應(yīng)記住一元二次方程有兩個(gè)解。

13、 (3)解:6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時(shí)要特別注意符號(hào)不要出錯(cuò)) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。

14、 (4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解為2 ·2 ，∴此題可用因式分解法) (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

15、 小結(jié): 一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程寫(xiě)成一般 形式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。

16、 直接開(kāi)平方法是最基本的方法。

17、 公式法和配方法是最重要的方法。

18、公式法適用于任何一元二次方程(有人稱(chēng)之為萬(wàn)能法)，在使用公式 法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先計(jì)算判別式的值，以便判斷方程 是否有解。

19、 配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。

20、但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方 法之一，一定要掌握好。

21、(三種重要的數(shù)學(xué)方法:換元法，配方法，待定系數(shù)法)。

22、 例5.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠獭?/p>

23、(選學(xué)) (1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0 (3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析:(1)首先應(yīng)觀察題目有無(wú)特點(diǎn)，不要盲目地先做乘法運(yùn)算。

24、觀察后發(fā)現(xiàn)，方程左邊可用平方差 公式分解因式，化成兩個(gè)一次因式的乘積。

25、 (2)可用十字相乘法將方程左邊因式分解。

26、 (3)化成一般形式后利用公式法解。

27、 (4)把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。

28、 (1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 (2)解: x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3，x2=1 (3)解:x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= (4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。

29、 (選學(xué)) 分析:此方程如果先做乘方，乘法，合并同類(lèi)項(xiàng)化成一般形式后再做將會(huì)比較繁瑣，仔細(xì)觀察題目，我 們發(fā)現(xiàn)如果把x+1和x-4分別看作一個(gè)整體，則方程左邊可用十字相乘法分解因式(實(shí)際上是運(yùn)用換元的方 法) 解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解。

30、 課外拓展 一元二次方程 一元二次方程(quadratic equation of one variable)是指含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次項(xiàng)是二 次的整式方程。

31、 一般形式為 ax2+bx+c=0, (a≠0) 在公元前兩千年左右，一元二次方程及其解法已出現(xiàn)于古巴比倫人的泥板文書(shū)中:求出一個(gè)數(shù)使它與它 的倒數(shù)之和等于 一個(gè)已給數(shù)，即求出這樣的x與，使 x=1, x+ =b, x2-bx+1=0, 他們做出( )2;再做出 ，然后得出解答:+ 及 - 。

32、可見(jiàn)巴比倫人已知道一元二次 方程求根公式。

33、但他們當(dāng)時(shí)并不接受 負(fù)數(shù)，所以負(fù)根是略而不提的。

34、 埃及的紙草文書(shū)中也涉及到最簡(jiǎn)單的二次方程，例如:ax2=b。

35、 在公元前4、5世紀(jì)時(shí)，我國(guó)已掌握了一元二次方程的求根公式。

36、 希臘的丟番圖(246-330)卻只取二次方程的一個(gè)正根，即使遇到兩個(gè)都是正根的情況，他亦只取其中 之一。

37、 公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫(xiě)成的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一個(gè)求根公 式。

38、 在阿拉伯阿爾.花拉子米的《代數(shù)學(xué)》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六種 不同的形式，令 a、b、c為正數(shù)，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。

39、把二次方程分成 不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。

40、阿爾.花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一 次 給出二次方程的一般解法，承認(rèn)方程有兩個(gè)根，并有無(wú)理根存在，但卻未有虛根的認(rèn)識(shí)。

41、十六世紀(jì)意大利的數(shù)學(xué)家們?yōu)榱私馊畏匠潭_(kāi)始應(yīng)用復(fù)數(shù)根。

42、 韋達(dá)(1540-1603)除已知一元方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解外，還給出根與系數(shù)的關(guān)系。

43、 我國(guó)《九章算術(shù).勾股》章中的第二十題是通過(guò)求相當(dāng)于 x2+34x-71000=0的正根而解決的。

44、我國(guó)數(shù)學(xué) 家還在方程的研究中應(yīng)用了內(nèi)插法。

本文分享完畢，希望對(duì)大家有所幫助。

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