冪函數(shù)的定義是什么

關(guān)于冪函數(shù)的定義是什么這個(gè)問(wèn)題很多朋友還不知道，今天小六來(lái)為大家解答以上的問(wèn)題，現(xiàn)在讓我們一起來(lái)看看吧！

1、冪函數(shù)的一般形式為y=x^a。

2、　　如果a取非零的有理數(shù)是比較容易理解的，不過(guò)初學(xué)者對(duì)于a取無(wú)理數(shù)，則不太容易理解，在我們的課程里，不要求掌握如何理解指數(shù)為無(wú)理數(shù)的問(wèn)題，因?yàn)檫@涉及到實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的極為深刻的知識(shí)。

3、因此我們只要接受它作為一個(gè)已知事實(shí)即可。

4、　　對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：　　首先我們知道如果a=p/q，且p/q為既約分?jǐn)?shù)（即p、q互質(zhì)），q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)（x的p次方），如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0,＋∞）。

5、當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：　　排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x>0，則a可以是任意實(shí)數(shù)；　　排除了為0這種可能，即對(duì)于x<0或x>0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù)；　　排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于或等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。

6、　　總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：　　如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；　　如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔? 的所有實(shí)數(shù)。

7、　　在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

8、　　在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。

9、　　而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

10、　　由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的，　　必須指出的是，當(dāng)x<0時(shí)，冪函數(shù)存在一個(gè)相當(dāng)棘手的內(nèi)在矛盾：[x^(a/b)]^(c/d)、[x^(c/d)]^(a/b)、x^(ac/bd)這三者相等嗎？若p/q是ac/bd的既約分?jǐn)?shù)，x^(ac/bd)與x^(p/q)以及x^(kp/kq)（k為正整數(shù)）又能相等嗎？也就是說(shuō)，在x<0時(shí)，冪函數(shù)值的唯一性與冪指數(shù)的運(yùn)算法則發(fā)生不可調(diào)和的沖突。

11、對(duì)此，現(xiàn)在有兩種觀點(diǎn)：一種堅(jiān)持通過(guò)約定既約分?jǐn)?shù)來(lái)處理這一矛盾，能很好解決冪函數(shù)值的唯一性問(wèn)題，但米指數(shù)的運(yùn)算法則較難維系；另一種觀點(diǎn)則認(rèn)為，直接取消x<0這種情況，即規(guī)定冪函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞）或（0，+∞）。

12、看來(lái)這一問(wèn)題有待專(zhuān)家學(xué)者們認(rèn)真討論后予以解決。

13、　　因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.　　可以看到：　　（1）所有的圖形都通過(guò)（1，1）這點(diǎn)。

14、　　（2）當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

15、　?。?）當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹；當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。

16、　　（4）當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。

17、　?。?）a大于0，函數(shù)過(guò)（0，0）；a小于0，函數(shù)不過(guò)（0，0）點(diǎn)。

18、　　（6）顯然冪函數(shù)無(wú)界限。

本文分享完畢，希望對(duì)大家有所幫助。

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